Матеатическая модель динамики роста числа абонентов компании МТС по московскому региону

И.С. Зунтова

В работе по данным числа абонентов компании МТС за 9 лет с 2001 по 2009 год строится математическая модель динамики развития, доказывается адекватность полученной модели тенденции развития и проводится исследование выбранной модели.

Россия в 2010 году заняла 4-е место в мире по числу мобильных телефонов.

ОАО “Мобильные ТелеСистемы” является ведущим телекоммуникационным оператором в России и странах СНГ. Компания занимает 33,1% российского рынка сотовой связи. В 2010 году МТС третий год подряд признан самым дорогим российским брендом.

Число абонентов МТС по Москве и Московской обл.(источник www.mts.ru). Данные образуют динамический ряд.

В общем случае каждый уровень временного ряда формируется из трендовой, циклической и случайной компонент. Практическая значимость модели тенденции будет выше, когда меньше будут случайные колебания.

Построение модели тенденции (уравнение тренда) включает в себя следующие этапы работы:

- выбор математической функции, описывающей тенденцию;

- оценка параметров модели;

- проверка адекватности выбранной функции и оценка точности модели;

- расчет прогнозов.

В зависимости от характера динамического ряда для моделей применяются различные математические функции. Все многообразие их можно свести в три группы:

- функции с монотонным характером возрастания и отсутствием пределов роста (полиномы k-й степени, показательная функции, степенная функция);

- кривые с насыщением, имеющие нижнюю или верхнюю границу (обратная функция, гиперболы, модифицированная экспонента);

- S – образные кривые, кривые с насыщением, имеющие точку перегиба.

К классу S – образных кривых относятся: кривая Перла-Рида, логистическая кривая, кривая Гомперца.

При практических расчетах значение асимптоты кривой может быть определено исходя из существа развития явления или различного рода ограничений для его роста (нормативы потребления, законодательные акты). Если асимптота не задана, то для оценки параметров могут использоваться разные методы: Фишера, Юла, Родса, Нейра и др. Сравнительная оценка и обзор этих методов изложены в работе Е.М.Четыркина “Статистические методы прогнозирования” (М. “Статистика”, 1975 г., с 126-133).

Тенденция развития явления в S – образных кривых охватывает три этапа: вначале довольно медленный рост, который затем убыстряется, далее сменяется уменьшением роста и приближением уровня ряда к предельному значению, т.е. к уровню насыщения.

S – образные кривые находят применение в работах связанных с развитием популяций, в демографических и страховых расчетах. Этой кривой можно описать механизм развития производства некоторых новых товаров или процесс распространения новшеств и изобретений. Кривые хорошо описывают развитие во времени функциональных характеристик различных технических устройств (скорость самолётов, эффективность потребления угля на электростанциях и т.д.).

На основе графического изображения ряда динамики (рис. 1) и содержания исследуемого процесса для описания тенденции развития выберем S – образные кривые.

Рис.1

Существует общий подход, который дает возможность применить метод наименьших квадратов при оценке S – образных кривых. Согласно этому подходу отыскивается такое преобразование уравнения кривой роста, которое является линейным относительно параметров. Задача сводится к оценке этих параметров с помощью регрессии. Этот метод предусматривает раздельную оценку параметров. Сперва с помощью регрессии оцениваются параметры с и а уравнения, а затем определяется параметр b.

Согласно метода Фишера, темп прироста приближенно оценивается в виде натурального логарифма от средней геометрической двух цепных темпов роста.

Расчетные формулы приведены в табл. 1 и табл. 2.

Таблица 2

Результаты вычислений для трех моделей приведены в табл. 3

Таблица 3

Как видно из табл. 3 наилучшее приближение к исходным данным дает логистическая функция, т.к. имеет меньшую остаточную сумму квадратов и наибольший значимый коэффициент детерминации.

		Точка перегиба		(12;8)

Косвенным подтверждением качества полученной модели служит тот факт, что рассчитанная теоретическая точка перегиба графика логистической функции практически совпадает с экспериментальным значением. Теоретическая точка перегиба наблюдается в 2006 году, ей соответствует численность абонентов 8,061 млн. Далее прирост числа абонентов постепенно падает.

Чтобы сделать вывод об автокорреляции в остатках расчитаем критерий Дарбина-Уотсона.

Фактическое значение критерия находится в зоне, позволяющей принять гипотезу об отсутствии автокорреляции в остатках.

Это означает хороший подбор модели тенденции к исходным данным.

Тест Спирмена позволяет обнаружить явление гетероскедастичности.

Следовательно, ранговая корреляция незначима и тест показывает гомоскедастичность остатков, т.е. постоянство дисперсий остатков для всех наблюдений.

Отсутствие автокорреляции остатков и их гомоскедастичность обеспечивают состоятельность и эффективность оценок коэффициентов уравнения нелинейной регрессии.

Полученная модель в виде логистической функции может быть использована для прогноза. Прогноз на 2010, 2011 г. с помощью прямой экстраполяции приведен в табл. 4.

Таблица 4

Число абонентов МТС на конец 2011 года 15,54 млн., что достаточно близко к предельному значению числа абонентов (16, 123 млн.). Очевидно, что перед маркетингом компании МТС сегодня стоит задача об изменении тенденции роста числа абонентов в Московском регионе. Это можно сделать за счёт широкого внедрения инновационных услуг и выгодных тарифов для бизнеса и массового рынка.

Для привлечения внешних источников идей МТС периодически проводит различные конкурсы, например, 2 марта 2011 МТС запустил молодежный конкурс “Телеком Идея”.